Teoría de Ecuaciones Diferenciales

A continuación, presentaremos en forma de resumen (ya que de hecho, existen libros enteros sobre el tema), una breve teoría sobre Ecuaciones Diferenciales.  

Ecuación diferencial: Ecuación que contiene algunas derivadas de una función incógnita, cuya solución es una función. Se pueden dividir en dos grandes grupos:

Ecuación diferencial ordinaria: solo contiene derivadas ordinarias respecto a una única variable independiente. A grandes rasgos, las podemos clasificar en Lineales y en No Lineales.

Ecuación diferencial parcial: Ecuación que contiene derivadas parciales respecto a dos o mas variables independientes. 

El orden de una ecuación diferencial, es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

Comencemos por describir más detalladamente las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n es una igualdad que relaciona una variable independiente, una variable dependiente (o función incógnita) y sus derivadas hasta el orden n.

• Forma implícita: $$F\left( x,y,\dfrac {dy} {dx},\ldots ,\dfrac {d^{n}y} {dx^{n}}\right) =0$$
• Forma explícita: $$\dfrac {d^{n}y} {dx^{n}}=f\left( x,y,\dfrac {dy} {dx},\ldots ,\dfrac {d^{n-1}y} {dx^{n-1}}\right)$$

La solución de una ecuación diferencial ordinaria de orden n en un intervalo I⊆R es una función ϕ(x) definida en I que admite derivadas hasta el orden n inclusive en Iy satisface la ecuación.


ϕ(x) es solución de la EDO en I⇔f(x,ϕ(x),ϕ ′ (x),…, ϕ(n)(x))=0 ∀ x∈ I

Una EDO tiene infinitas soluciones. La solución de una EDO de orden n dependerá de las n condiciones iniciales dadas (es decir, se deberán determinar n constantes arbitrarias para poder especificar una solución en particular).

• Solución general: constituida por las infinitas soluciones (contiene constantes arbitrarias).
• Solución particular: se obtiene de la solución general, al determinar el valor de las constantes arbitrarias, mediante las condiciones iniciales.

Problema con valor inicial o problema de Cauchy. (de primer orden).
Llamamos problema con valor inicial o de Cauchy, al siguiente sistema:
$$P.V.I.=\begin{cases} f\left( x,y,\dfrac {dy} {dx}\right) \\ y\left( x_{0}\right) =y_{0}\end{cases} $$
Teorema de existencia y unicidad de la solución. (Teorema de Picard).
Dado el problema con valor inicial: $$P.V.I.=\begin{cases} f\left( x,y,\dfrac {dy} {dx}\right) \\ y\left( x_{0}\right) =y_{0}\end{cases} $$

si (x0,y0) es un punto contenido en una región rectangular del plano R=[a,b]×[c,d] en la cual f y df/dy son contínuas, entonces existe algún intervalo abierto I contenido en [a,b] y una única función ϕ(x) definida en I que es solución del P.V.I..